Question

【题目】设函数f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1（a＜0）．若曲线y=f（x）的切线斜率的最小值是﹣9．求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1，

∴f′（x）=x2+2ax﹣8．

∴当x=﹣a时，f′（x）有最小值﹣a2﹣8

由已知：﹣a2﹣8=﹣9，∴a2=1

∵a＜0，∴a=﹣1

（2）解：由（1）f′（x）=x2﹣2x﹣8

令f′（x）=0得x=﹣2或4

当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴当x=﹣2时，f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）= ；

当x=4时，f（x）取得极小值，极小值为f（4）=﹣

【解析】（1）先求出导函数的最小值，利用曲线y=f（x）的切线斜率的最小值是﹣9，求出a的值即可；（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，确定函数的单调区间可得函数f（x）的极大值和极小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．