Question

【题目】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1 ， CD的中点．
（1）求| |
（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

建立如图所示的空间直角坐标系．则

A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），

，

∴

（2）解：∵ ， ，

∴

∴直线EC与AF所成角的余弦值为

（3）解：平面ABCD的一个法向量为

设平面AEF的一个法向量为 ，

∵ ， ，

∴ ，令x=1，则y=2，z=﹣1 ，

则

由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为

【解析】（1）建立空间直角坐标系．利用向量法能求出| |．（2）求出 ， ，利用向量法能求出直线EC与AF所成角的余弦值．（3）求出平面ABCD的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣B的余弦值．
【考点精析】利用异面直线及其所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．