题目内容

【题目】已知函数

(1)令,判断g(x)的单调性;

(2)当x>1时,,求a的取值范围

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)讨论的范围,分别利用导数以及函数的单调性,结合单调性判断函数是否有最大值,当函数有最大值时,令其最大值小于零即可求得的范围.

(1)由,则

所以x>0).

a0时,的减函数;

a>0时,

,即时,的减函数;

,即时,由有两根

为减函数为增函数

为减函数

综上:当时,的减函数;

时,在为减函数为增函数为减函数

(2)由(1)知,对a讨论如下,

a0时,,则为(1,+)上的减函数,

为(1,+)的减函数,

由于所以,即a0时满足题意

a>0时,由于,对其讨论如下

(A)若,即a1,则由(1)知,为(1,+)上的减函数,

所以为(1,+)的减函数,

由于所以,即0<a1时满足题意

(B)若,即a>1,则由(1)知,

时,为(1,+)上的减函数,又

所以存在,使得在时,,于是的增函数,

因为

所以,即1<a时不满足题意

时,由于,所以对与1的大小关系讨论如下,

1)如果,即,那么由(1)知,为(1,+)上的减函数,

则存在,使得在时,,于是的增函数,

,即时不满足题意

2)如果,即,那么由(1)知,为(1,)上的增函数,

则当时,,于是的增函数,

,即时不满足题意

综上所述,a的取值范围为

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