题目内容
【题目】如果函数在定义域内存在区间[a,b],使
在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称
为“倍增函数”。
(I)判断=
是否为“倍增函数”,并说明理由;
(II)证明:函数=
是“倍增函数”;
(III)若函数=ln(
)是“倍增函数”,写出实数m的取值范围。(只需写出结论)
【答案】(I)见解析;(II)见证明;(III)<m<0
【解析】
(I)根据时,
判断出
为“倍增函数”.(II)首先利用导数判断出
为单调递增函数,构造函数
,利用导数求得函数
有且只有两个零点,进而判断出函数
是“倍增函数”.(III)
为增函数,且
为“倍增函数”,所以
,即
;所以方程
,化为
有两个不相等的实数根,且两根都大于零.即
,解得
.所以
的取值范围是
.
解:(I)=
是“倍增函数”,理由如下:
=
的定义域是R,且在[0,+
)上单调递增;
所以,当 [0,2]时,
∈[0,4],
所以,=
是“倍增函数”。
(II)=
的定义域是R。
当x>0时,=
>0,所以
在区间(0,+
)上单调递增。
设=
-2x=
,
=
。
设h(x)==
,
=
>0,
所以,h(x)在区间(-,+
)上单调递增。
又h(0)=-2<0,h(1)=e-1>0,
所以,存在唯一的∈(0,1),使得h(
)=
=0,
所以,当x变化时,与
的变化情况如下表:
x | (- | ( | |
- | 0 | + | |
↘ | ↗ |
因为g(1)=e-3<0,g(2)=>0,
所以,存在唯一的∈(1,2),使得
=0,
又=0,所以函数
只有两个零点,即0与
。
所以=0,
=2
。
结合在区间(0,+
)上单调递增可知,当x∈[0,
]时
的值域是[0,2
]。
所以,令[a,b]=[0,],
=
是“倍增函数”。
(III)<m<0。
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