Question

13．关于函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0），有下列四个命题：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增；
④f（x）图象关于y轴对称．
其中正确的是（　　）

• A． 仅①②
• B． 仅②④
• C． 仅②③
• D． 仅③④

Answer 1

分析 不妨令a=1，可得f（x）=x-$\frac{1}{x}$，它的图象如图所示，结合函数的图象特征，函数的奇偶性、单调性以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0），不妨令a=1，
可得f（x）=x-$\frac{1}{x}$，它的图象如图所示：
显然当x=1时，f（x）=0，故①不正确；
显然，f（x）=x-$\frac{1}{x}$ 为奇函数的，它的图象关于原点对称，故②正确，而④不正确；
由于f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递增，
故f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，故③正确，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性、单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．