题目内容

3.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,且Tn=2Sn-2n,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Tn+2n-λ•a${\;}_{n}^{2}$≤0对任意n∈N恒成立,则实数λ的最小值.

分析 (1)通过Tn=2Sn-2n与Tn+1=2Sn+1-2(n+1)作差、整理可知Sn+1+2=2(Sn+2),进而可知Sn=2n+1-2,利用Sn+1-Sn计算可得结论;
(2)通过an=2n化简可知问题即求$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$的最大值,通过设f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x-1}}$,利用导数判断出其单调性,进而即得结论.

解答 解:(1)∵Tn=2Sn-2n,
∴Tn+1=2Sn+1-2(n+1),
∴Sn+1=Tn+1-Tn
=2Sn+1-2(n+1)-(2Sn-2n)
=2Sn+1-2Sn-2,
整理得:Sn+1=2Sn+2,
即Sn+1+2=2(Sn+2),
又∵S1=T1=2S1-2,
∴S1+2=2+2=4,
∴Sn+2=4•2n-1=2n+1
∴Sn=2n+1-2,Sn+1=2n+2-2,
∴an+1=Sn+1-Sn=2n+2-2-(2n+1-2)=2n+1
又∵a1=S1=2满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=2n
(2)∵an=2n
∴${{a}_{n}}^{2}$=22n=4n
Tn=2Sn-2n
=2•$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-2n
=2n+2-2n-4,
∴Tn+2n-λ•a${\;}_{n}^{2}$≤0对任意n∈N恒成立,
即2n+2-2n-4+2n-λ•22n≤0对任意n∈N恒成立,
整理得:λ≥$\frac{4{•2}^{n}-4}{{4}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$,
记f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x-1}}$,则f′(x)=$\frac{{2}^{x}•ln2•{4}^{x-1}-{({2}^{x}-1)•4}^{x-1}ln4}{{4}^{2x-2}}$=(22x-1-23x-2)•$\frac{ln2}{{4}^{2x-2}}$,
令f′(x)=0,即22x-1-23x-2=0,解得x=1,
当x<1时,f′(x)>0;
当x>1时,f′(x)<0;
∴当x=1时f(x)取最大值f(1)=$\frac{{2}^{1}-1}{{4}^{1-1}}$=1,
∴λ≥$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$≥1,即实数λ的最小值为1.

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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