Question

（本小题满分14分）已知函数 （I）求曲线处的切线方程；  （Ⅱ）求证函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e^0.3≈1.3）
（III）当试求实数的取值范围。

Answer 1

（I）  （Ⅱ） （III）

（Ⅰ），………1分
又，处的切线方程为
…………3分
（Ⅱ），………4分
令，则上单调递增，
上存在唯一零点，上存在唯一的极值点………6分
取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下

区间中点坐标	中点对应导数值	取区间
			1
			0.6
			0.3

由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时，相应……9分
（Ⅲ）由，
即，，……11分
令
令
上单调递增，
，因此上单调递增，
则，的取值范围是………14分