Question

14．已知m∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|3x+1|，x＜0}\\{lo{g}_{3}x，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1，若函数y=f（g（x））-m有6个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{5}{7}$）
• B． （$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$）
• C． （0，$\frac{3}{7}$）
• D． （$\frac{2}{7}$，1）

Answer 1

分析 由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|3x+1|，x＜0\\ lo{g}_{3}x，x＞0\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1．可得当g（x）=（x-1）²+2m-2＜0，当g（x）=（x-1）²+2m-2＞0，求出函数y=f（g（x））-m的表达式．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|3x+1|，x＜0\\ lo{g}_{3}x，x＞0\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴当g（x）=（x-1）²+2m-2＜0，即（x-1）²＜2-2m时，
则y=f（g（x））=|3g（x）+1|=|3（x-1）²+6m-5|．
当g（x）=（x-1）²+2m-2＞0，即（x-1）²＞2-2m时，则y=f（g（x））=${log}_{3}[{（x-1）}^{2}+2m-2]$．
①当m≥1时，y=m只与y=f（g（x））=${log}_{3}[{（x-1）}^{2}+2m-2]$的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．
②当m＜1时，y=m与y=f（g（x））=${log}_{3}[{（x-1）}^{2}+2m-2]$的图象有两个交点，需要直线y=m与函数y=f（g（x））=|3g（x）+1|=|3（x-1）²+6m-5|的图象有四个交点时才满足题意．
∴0＜m＜5-6m，又m＜1，解得0＜m＜$\frac{5}{7}$．
综上可得：m的取值范围：（0，$\frac{5}{7}$）．
故选：A．

点评 本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．