题目内容
【题目】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＜b＜c）．已知向量 
=（a，c）， 
=（cosC，cosA）满足 = 
（a+c）．
（1）求证：a+c=2b；
（2）若2csinA﹣ 
a=0，且c﹣a=8，求△ABC的面积S．
【答案】
（1）证明：∵向量 
=（a，c）， 
=（cosC，cosA）满足 = 
（a+c）．
∴acosC+ccosA= （a+c），
∴a× 
+c× 
= 
，
∴2b=a+c
（2）解：∵2csinA﹣ 
a=0，
∴2sinCsinA﹣ sinA=0，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴sinC= 
，
又a＜b＜c，
∴C为钝角．
∴cosC= 
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，与c﹣a=8，2b=a+c．
联立解得a=6，b=10，c=14．
∴S△ABC= absinC= 
=15
【解析】（1）利用数量积运算性质、余弦定理即可证明．（2）由2csinA﹣ a=0，利用正弦定理可得2sinCsinA﹣ sinA=0，化为sinC= ，又a＜b＜c，可得C为钝角．cosC= ，利用余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，与c﹣a=8，2b=a+c联立解出即可得出．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:
；余弦定理:
;
;
．
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