Question

17．已知函数f（x）是满足f（x+1）=f（1-x）的偶函数；当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，若关于x的方程f（x）=kx-k+1（k∈R且k≠1）在区间[-3，1]内有四个不同的实根，则k的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （0，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 把方程f（x）=kx-k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx-k+1的图象的交点，在同一坐标系内画出图象由图可得结论．

解答 解：因为关于x的方程f（x）=kx-k+1（k∈R且k≠1）
有4个不同的根，
就是函数f（x）的图象与y=kx-k+1的图象
有4个不同的交点，
函数f（x）是满足f（x+1）=f（1-x）的偶函数，
即有f（-x）=f（2+x），且f（-x）=f（x），即为f（x+2）=f（x），
则f（x）是以2为周期的偶函数，
当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，
则当x∈[0，1]时，f（x）=x．
可以得到函数f（x）在[-3，1]的图象，
又因为y=kx-k+1=k（x-1）+1过定点A（1，1），
在同一坐标系内画出它们的图象如图，
由图得y=kx-k+1=k（x-1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求，
而AB的斜率为K_AB=$\frac{1-0}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}$，
所以k的取值范围是0＜k＜$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．