Question

7．已知a＞0，函数f（x）=ax-（1+a⁴）x³的图象与x轴交于点（c，0），其中c＞0．若S（a）=${∫}_{0}^{c}$f（x）dx．
（1）求S′（a）；
（2）函数S（x）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用定积分计算公式，可得S（a），求出导数即可；
（2）由S（x）求出导数，注意定义域，求得单调区间和极值，进而得到最值．

解答 解：（1）函数f（x）=ax-（1+a⁴）x³的图象与x轴交于点（c，0），
即有ac-（1+a⁴）c³=0，即为a=（1+a⁴）c²，
S（a）=${∫}_{0}^{c}$f（x）dx=（$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$（1+a⁴）x⁴）|${\;}_{0}^{c}$═$\frac{1}{2}$ac²-$\frac{1}{4}$（1+a⁴）c⁴，
则S′（a）=$\frac{1}{2}$c²-a³c⁴；
（2）由S（x）=$\frac{1}{2}$xc²-$\frac{1}{4}$（1+x⁴）c⁴，x＞0．
S′（x）=$\frac{1}{2}$c²-x³c⁴，
当0＜x＜$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$时，S′（x）＞0，S（x）递增；
当x＞$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$时，S′（x）＜0，S（x）递减．
即有x=$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$时，S（x）取得极大值，也为最大值，
且为$\frac{3}{8}$•$\root{3}{\frac{{c}^{4}}{2}}$-$\frac{1}{4}$c⁴．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．