题目内容
【题目】已知曲线,过点
作直线
和曲线
交于
、
两点.
(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离;
(2)若,点
在第一象限,
轴,垂足为
,连结
,求直线
倾斜角的取值范围;
(3)过点作另一条直线
,
和曲线
交于
、
两点,问是否存在实数
,使得
和
同时成立?如果存在,求出满足条件的实数
的取值集合,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在,实数
的取值集合为
【解析】
(1)求出曲线的焦点和渐近线方程,利用点到直线的距离公式求求解即可;
(2)设,
,表示出直线
的斜率,根据
的范围,求出其范围,进而得到倾斜角的取值范围;
(3)直接求出当直线,直线
和当直线
,直线
时,
的值,当
时,与双曲线联立可得
,利用弦长公式求出
和
,利用
列方程求出
的值,验证判别式成立即可得出结果.
(1)曲线的焦点为
,渐近线方程
,
由对称性,不妨计算到直线
的距离,
.
(2)设,
,从而
又因为点在第一象限,所以
,
从而,
所以直线倾斜角的取值范围是
;
(3)当直线,直线
,
当直线,直线
时,
不妨设,与双曲线联立可得
,
由弦长公式,
将替换成
,可得
由,可得
,
解得,此时
成立.
因此满足条件的集合为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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