Question

【题目】设f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然对数的底数，

e＝2.71 828…).

(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值.

(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)a＝－1，b＝－e.(2)[e－1，＋∞).

【解析】试题分析：

（1）求出原函数的导函数，得到，结合在处的切线方程列式求得的值；

（2）由是的一个单调递减区间，可知，利用上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求得函数在上的最小值即可得到答案.

试题解析：

(1)因为f′(x)＝ex(ln x－a)＋ex·＝ex，

所以由题意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，

解得a＝－1.

所以f(1)＝e(ln 1－a)＝e，

由切点(1，e)在切线y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.

(2)由题意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立.

因为ex>0，所以只需ln x＋－a≤0，即a≥ln x＋在上恒成立.

令g(x)＝ln x＋.

因为g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：

x		1	(1，e)
g′(x)	－	0	＋
g(x)		极小值

g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，

因为e－1>1＋，

所以g(x)max＝g＝e－1，所以a≥e－1.

故实数a的取值范围是[e－1，＋∞).