题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn,且3an+Sn=4(n∈N*).
(1)证明:{an}是等比数列;
(2)在an和an+1之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列.记插入的n个数的和为Tn,求Tn的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由已知得,则当时, ,两式相减,即可证明数列为首项为,公比为的等比数列;
(2)由(1)得,求得,求得,即得,即可求得的最大值.
试题解析:
(1)证明 因为3an+Sn=4,所以Sn=4-3an(n∈N*),
所以,当n≥2时,有Sn-1=4-3an-1,
上述两式相减,得an=-3an+3an-1,
即当n≥2时,=.
又n=1时,a1=4-3a1,a1=1.
所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解 由(1)得an=a1·qn-1=,
所以Tn===,
因为Tn+1-Tn=-
=,
所以T1<T2<T3,T3=T4,T4>T5>T6>…,
所以Tn的最大值为T3=T4=.
练习册系列答案
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |