题目内容
【题目】如图，某海面上有
、
、
三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东
方向
处，岛在岛的正东方向
处.
（1）以为坐标原点，的正东方向为
轴正方向，
为单位长度，建立平面直角坐标系，写出、的坐标，并求、两岛之间的距离；
（2）已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西
方向距岛
处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】（1）
、
，
（
）（2）该船有触礁的危险．详见解析
【解析】
（1）根据两点距离公式求解；（2）先用待定系数法求出圆方程和直线方程，再根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系.
解：（1）如图所示，
在
的东北方向
，
在的正东方向
，
、，
由两点间的距离公式得
（）；
（2）设过、、三点的圆的方程为
，将
、、
代入上式得
，解得
、
、
，
所以圆的方程为
，圆心为
，半径
.
设船起初所在的位置为点
，则
，且该船航线所在直线的斜率为
，
由点斜式得船航行方向为直线
，
圆心到的距离为
，
所以该船有触礁的危险．
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