题目内容
【题目】如图,平面平面
,其中
为矩形,
为梯形,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若二面角的平面角的余弦值为
,求
的长.
【答案】(1)见解析;(2)AB=.
【解析】分析:(Ⅰ)由线面垂直的性质可得平面
,从而得
,结合
,利用线面垂直的判定定理可得
平面
;(Ⅱ)设
,以为
原点,
所在的直线分别为
轴,
轴建立空间直角坐标系,平面ABF的法向量可取
,利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面
的法向量
),利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解:(Ⅰ)平面
平面
,且
为矩形,
平面
,
又平面
,
,
又且
平面
.源:Z+xx+k.Com]
(Ⅱ)设AB=x.以F为原点,AF,FE所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系.则F(0,0,0),A(-2,0,0),E(0,
,0),D(-1,
,0),B(-2,0,x),所以
=(1,-
,0),
=(2,0,-x).
因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
设=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则
所以,可取=(
,1,
).
因为cos<,
>=
=
,得x=
,所以AB=
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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