题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)设是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;
(2)若有两个不同的零点
和
,且
,
(i)求参数的取值范围;
(ii)求证:.
【答案】(1)见解析;(2)(i),(ii)见解析.
【解析】
(1)求函数导数,由可得解,进而得单调区间;
(2)(i)分析函数导数可得函数单调性,结合,所以
,可得解;
(ii)先证当时,若
,得存在
,进而证
,再证
时,
,可得
,构造函数
,利用函数单调性即可证得.
(1),
若是函数
的极值点,则
,得
,经检验满足题意,
此时,
为增函数,
所以当,
单调递减;
当,
单调递增
(2)(i),
,
记,则
,
知在区间
内单调递增.
又∵,
,
∴在区间
内存在唯一的零点
,
即,于是
,
.
当时,
单调递减;
当时,
单调递增.
若有两个不同的零点
和
,且
,
易知,所以
,解得
.
(ii)当时有
,令
.
由(i)中的单调性知,存在,当
.
,所以
.
下证当时,
.
由,
所以,
由(i)知,当,得
..
所以,令
要证,即证
.
令单调递增,且
,
所以单调递增,所以
.得证.
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