题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点
的直线l与椭圆C交于
，
两点，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将点
代入椭圆方程，结合离心率公式，联立方程组，求解即可得出椭圆的方程；
讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，当直线l的斜率为0时，
，得出
；
当直线l的斜率不为0时，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得出
，
的值，进而得出
，换元令
，得出
，由二次函数的性质求出
的取值范围.
解：（1）因为椭圆C经过点，所以
，①
因为椭圆C的离心率为
，所以
，所以
.②
由①②得
，
.
故椭圆C的方程为.
（2）①当直线l的斜率为0时，，所以.
②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为
.
联立
，整理得
则
，
设，则
，从而
因为，所以
，即
综上的取值范围是.
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