题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点为
,点
在椭圆
上,且点
关于原点对称,直线
的斜率的乘积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线经过点
,且与椭圆
交于不同的两点
,若
,判断直线
的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线
的斜率为定值
【解析】
(1)利用斜率乘积为,
,
可构造出方程组,求解得到
和
,从而可得椭圆标准方程;(2)联立直线
与椭圆方程,可得关于
的一元二次方程;利用判别式大于零可求得
的取值范围;利用韦达定理表示出
和
;根据
,可得到
;利用向量数量积坐标运算,代入韦达定理整理得到
,解方程可求得结果.
(1)由题意知:,又
,
可得:,
,
椭圆
的方程为:
(2)设直线的方程为:
将其代入,整理可得:
则,得:
设,
则,
又,且
又,
所以
又,
化简得:,解得:
直线
的斜率为定值
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