题目内容
【题目】已知函数.
(1)指出函数的基本性质:定义域,奇偶性,单调性,值域(结论不需证明),并作出函数
的图象;
(2)若关于的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
恰有
个不同的实数解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)定义域:,
是偶函数,在区间
和
上单调递增,在区间
和
上单调递减,值域为
,作图见解析;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)将函数表示为分段函数,利用基本初等函数的基本性质可得出函数
的定义域、奇偶性、单调性和值域,并结合解析式作出该函数的图象;
(2)令,可得出不等式
在
恒成立,然后利用参变量分离法得出
,求出函数
的最大值,即可得出实数
的取值范围;
(3)令,结合题意可得知关于
的方程
的两根
,
,然后利用二次函数的零点分布列出关于
、
的不等式组,即可求出实数
的取值范围.
(1),
,函数
是偶函数,
在区间和
上单调递增,在区间
和
上单调递减,
函数的最大值是
,无最小值,值域为
.
作图如下:
(2)因为关于的不等式
恒成立,
令,则
,即不等式
在
恒成立.
当时,因为
,所以
.
又,所以
;
(3)关于的方程
恰有
个不同的实数解即
有
个不同的解,如下图所示:
当时,方程
有四个根;当
时,方程
有两个根;
当或
时, 方程
无解.
设方程的两根分别为
、
,则
,
.
令,则
.
因此,实数的取值范围是
.
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