Question

【题目】如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，

①，依题意，MN∥AF，而DE与AF异面，从而可判断DE与MN不平行；

②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线；

③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角；

④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直．

详解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：

对于①，M、N分别为EF、AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误；

对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；

对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；

对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，

而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．

综上所述，正确命题的序号是②③④，

故答案为：②③④．