Question

【题目】已知函数f（x）=loga ，g（x）=1+loga（x﹣1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，
（1）求集合D；
（2）当a＞1时．若不等式g（x﹣ ）﹣f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，当[m，n]D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为：

＞0，

∴x＞3或x＜﹣3；

g（x）的定义域为：

x﹣1＞0，

∴x＞1，

∴集合D为（3，+∞）

（2）解：1+loga（x﹣ ）﹣loga ＞2，

∴loga ＞1，

∴a＜ ，

设h（x）= ，t=2x﹣3，

∴g（t）= = （t+ ）+ ，

∴g（t）＞g（3）= ，

∴1＜a≤

（3）解：f（x）=loga（1﹣ ），μ（t）=1﹣ 在（3，+∞）上递增，μ（3）=0，

当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，

当m＜n时，g（m）＜g（n），不合题意，舍去；

当0＜a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，

由f（m）=g（m），f（n）=g（n），

∴m，n是f（x）=g（x）的两根，

∴ =a（x﹣1），

∴ax2+（2a﹣1）x﹣3a+3=0，

∴m+n＞6，mn＞9，

∴a＜ ，

又m+n＞2 ，

∴a＜ 或a＞ ，

又△＞0，（2a﹣1）2﹣4a（3﹣3a）＞0

∴a＜ 或a＞ ，

∴0＜a＜

【解析】（1）利用对数函数的定义求定义域即可；（2）整理不等式得a＜ ，构造函数g（t）= = （t+ ）+ ，求出g（t）的最小值；（3）对参数a进行分类讨论，当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，不合题意，舍去；
当0《a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，构造m，n是f（x）=g（x）的两根，利用二次方程有解求出a的范围．