Question

17．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$（O为坐标原点），求α；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$$⊥\overrightarrow{BC}$，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得 $\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+cosα，sinα），再根据|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{{（2+cosα）}^{2}{+sin}^{2}α}$=$\sqrt{7}$，求得cosα 的值，可得α的值．
（Ⅱ）由条件利用两个向量垂直的性质求得 cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，可得sinαcosα的值，再根据sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}-4sinαcosα}$，计算求的结果．

解答 解：（Ⅰ）∵A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+cosα，sinα），∴|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{{（2+cosα）}^{2}{+sin}^{2}α}$=$\sqrt{7}$，
求得cosα=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AC}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-2），$\overrightarrow{AC}$$⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=cos²α+sin²α-2（cosα+sinα）=1-2（cosα+sinα）=0，
即 cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，∴1+2cosα•sinα=$\frac{1}{4}$，求得sinαcosα=-$\frac{3}{8}$．
∴sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}-4sinαcosα}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}+4×\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，属于中档题．