题目内容

18.设z=ax+y中变量x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$,若目标函数z仅在(5,2)处取得最大值,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,-$\frac{3}{5}$)B.($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{5}$)C.($\frac{1}{4}$,+∞)D.($\frac{3}{5}$,+∞)

分析 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出a的取值范围.

解答 解:作出不等式对应的平面区域,
由z=ax+y得y=-ax+z,
要使目标函数z=ax+y仅在点A(5,2)处取得最大值,
则阴影部分区域在直线y=-ax+z的下方,
∴-a<0,
即a>0,即目标函数的斜率k,满足k<kAB=-$\frac{3}{5}$,
即-a<-$\frac{3}{5}$,
则a>$\frac{3}{5}$,
即a的取值范围是($\frac{3}{5}$,+∞),
故选:D

点评 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函数z=ax+y仅在点(5,2)处取得最大值,确定直线的位置是解决本题的关键.

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