Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）是否存在实数a，使得在上的最大值为,若存在，求满足条件的a的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上递增；当或时， ，∴在上递减；当且时， 在上递增，在上递减.（2）存在，且的个数为1.

【解析】试题分析：（1），当时， 在上递增,当即或时， 在上递减,当且时，令得,即可得在上递增，在上递减. （2）由（1）知即，即，设，易知为增函数，且，所以的唯一零点在上,a的个数即得解.

试题解析：

（1），

当时， 在上递增

当即或时， ，∴在上递减

当且时，令得

令得；令得

∴在上递增，在上递减.

综上，当时， 在上递增；当或时， ，∴在上递减；当且时， 在上递增，在上递减.

（2）易知， 在上递增，在上递减.

∴

∴，即，

设，易知为增函数，且，

∴的唯一零点在上，∴存在，且的个数为1.