题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若方程
有两个相异实根
,且
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)对原函数求导,根据导函数的正负得到函数的单调区间。(2)由条件知
的两个相异实根分别为
,构造函数
,研究函数的单调性,得函数递减,由题意可知
,故
,所以
,这样就将
化到了同一个单调区间上去,直接研究函数
和0的关系即可,最终根据
的单调性可以得到结果。
解析:(1)因为,
函数的定义域为
,
因为,当
,即
时,
对
恒成立
所以在
上是增函数,
当,即
时,由
得
或
,
则在
,
上递增
在上递减;
(2)设的两个相异实根分别为
,满足
,
且,
令的导函数
,
所以在
上递减,由题意可知
,
故,所以
,令
,
令,
则,
当时,
,所以
是减函数,
所以,
所以当时,
,
因为,
在
上单调递增,
所以,故
,
综上所述, .
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