题目内容
【题目】如图,在边长为4的菱形中,
,点
分别是
的中点,
,沿
将
翻折到
,连接
,得到如图的五棱锥
,且
(1)求证: 平面
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先证明,从而
,根据线面垂直的判定定理可证明
平面
;(2)设
,连接
,由(1)可得
,根据勾股定理可得
,根据线面垂直的判定定理可得
平面
,以
为原点,
在直线为
轴,
所在直线
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)点
分别是
的中点
菱形
的对角线互相垂直
(2)设,连接
为等边三角形,
,在
中,在
中,
,
平面
以
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,则
设平面的法向量为
,由
得
令得
平面
的一个法向量为
,
由(1)知平面的一个法向量为
,
设求二面角的平面角为
,
则
二面角
的余弦值为
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目