Question

20．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞$\frac{3}{{e}^{x}}$+1的解集为{x|x＞0}．

Answer 1

分析 不等式f（x）＞$\frac{3}{{e}^{x}}$+1可化为e^xf（x）-e^x＞3，设g（x）=e^xf（x）-e^x，导数法可判g（x）的单调性，可得不等式的解集．

解答 解：不等式f（x）＞$\frac{3}{{e}^{x}}$+1可化为e^xf（x）-e^x＞3
设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x
=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）-e^x＞3，∴g（x）＞3，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（0），∴x＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＞0}
故答案为：{x|x＞0}

点评 本题考查不等式的解集，涉及函数和导数以及构造法，属中档题．