Question

【题目】如图，四边形与都是边长为的正方形，点是的中点， 平面.

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求平面与平面所成锐二面角的正切值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：证明线面平行，利用线面平行的判定定理.本题借助三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，因此首先寻求线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直，进而达到面面垂直；求二面角可利用法向量计算.

试题解析：

（1）设交于，连接为正方形，所以为中点，

又为的中点， 为的中位线， ，

又平面平面，

平面.

（2）为正方形，

平面平面

又平面.

平面

平面平面.

（3）由（2）已证平面平面

，平面平面

锐角为平面与平面所成锐二面角的平面交

平面，

在边长为的正方形中，而

为所求.

法二：依条件有，以为坐标原点，分别以为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则有

平面 平面的一个法向量为

，设平面的一个法向量为

则，可取

设平面与平面所成锐二面角大小为，

则，

为所求.