题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
、
是椭圆的左、右顶点，直线
过点且与
轴垂直.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
是椭圆上异于、的任意一点，作
轴于点
，延长
到点
使得
，连接
并延长交直线于点
，
为线段
的中点，判断直线
与以
为直径的圆
的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）相切．
【解析】试题分析：(1)根据点到直线距离公式得
,再根据离心率得
(2) 设
，依次得Q,M,N坐标，即得QN方程，再利用点到直线距离公式得圆心到直线距离，最后根据圆心到直线距离与半径关系确定直线
与以
为直径的圆
的位置关系
试题解析：（Ⅰ）由题意：到直线
的距离为，则
椭圆C的标准方程为
（Ⅱ）设，则
直线
的方程为
与
联立得：
则直线的方程为
即
方程可化为
到直线的距离为
故直线与以AB为直径的圆O相切.
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【题目】如图，矩形
中， 
， 
为边
的中点，将
沿直线
翻转成
.若
为线段
的中点，则在
翻折过程中：
①
是定值；②点
在某个球面上运动；
③存在某个位置，使
；④存在某个位置，使
平面
.
其中正确的命题是_________.
【题目】某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为
）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：
顾 客 产 品 |
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A | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||
B | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||
C | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
D | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；
（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，
求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）