Question

2．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，过其右焦点F作倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线．交椭圆于P，Q两点．若OP⊥OQ，求此椭圆的离心率．

Answer 1

分析 先设出椭圆方程与直线的方程，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，
再由OP⊥OQ，可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，c的关系式，从而可确定椭圆离心率．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，直线方程为y=x-c，其中a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²，
联立直线与椭圆方程，消去y得到，（a²+b²）x²-2a²c•x+a²（c²-b²）=0，
设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$       ①，
由于OP⊥OQ，则x₁x₂+y₁y₂=0，
由于P，Q两点在直线y=x-c上，
则x₁x₂+（x₁-c）（x₂-c）=0，即2x₁x₂-c（x₁+x₂）+c²=0    ②
将①代入②，得到2•$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-c•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+c²=0，
又由c²=a²-b²，则c⁴-4a²c²+2a⁴=0，
由于$e=\frac{c}{a}$（0＜e＜1），则e⁴-4e²+2=0，解得e²=2+$\sqrt{2}$（舍）或e²=2-$\sqrt{2}$，
则e=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．
故此椭圆的离心率为$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．

点评 本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题