Question

17．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ是第二象限角，且f（$\frac{θ}{2}$）=0，求$\frac{cos2θ}{1+cos2θ-sin2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的最值即可得解函数的最大值．
（2）由f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=0，解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合θ范围利用同角三角函数关系式可求cosθ的值，利用倍角公式化简所求后代入即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（x）_max=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x_min=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵θ是第二象限角，且f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=0，解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{cos2θ}{1+cos2θ-sin2θ}$=$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{1+（2co{s}^{2}θ-1）-2sinθcosθ}$=$\frac{2×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-1}{2×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了学生的计算求解能力，属于基础题．