Question

12．求函数f（x）=2x³+4x²-40x，x∈[-3，3]的最小值．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对区间[-3，3]分段，利用导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，从而求出极小值点，得到该题的最小值．

解答 解：由f（x）=2x³+4x²-40x，得f′（x）=6x²+8x-40，
由6x²+8x-40=0，解得：${x}_{1}=-\frac{10}{3}，{x}_{2}=2$．
∴当x∈[-3，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-3，2）上为减函数，在（2，3]上为增函数．
∴$f（x）_{min}=f（2）=2×{2}^{3}+4×{2}^{2}-40×2$=-48．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 而得到的，此题是中低档题．