题目内容

7.设函数f(x)=$\frac{a}{3}$x3-ax2+x+1,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(1)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且1<$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5,求a的取值范围.

分析 (1)先确定函数的导函数fˊ(x),再对a分类讨论,利用导数判断函数的单调性;
(2)由于f(x)存在两个极值点x1,x2,利用(1)中对a的讨论,即可得到满足1<$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5的x1,x2的值,解不等式即可得到a的取值范围.

解答 解:(1)由于函数f(x)=$\frac{a}{3}$x3-ax2+x+1,a∈R.
则f′(x)=ax2-2ax+1,△=4a2-4a,
①当a>1时,△=4a2-4a>0,
则f′(x)=ax2-2ax+1=0有两个根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,
故f(x)在(-∞,1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$),(1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,+∞)上单调递增,在(1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$)单调递减,
②当0≤a≤1时,△=4a2-4a≤0,则f′(x)≥0恒成立,
故f(x)在R上单调递增,
③当a<0时,△=4a2-4a>0,
则f′(x)=ax2-2ax+1=0有两个根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,
故f(x)在(-∞,1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$),(1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,+∞)上单调递减,在(1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$)单调递增,
综上可知,当a>1时,f(x)在(-∞,1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$),(1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,+∞)上单调递增,在(1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$)单调递减,
当0≤a≤1时,f(x)在R上单调递增,
当a<0时,f(x)在(-∞,1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$),(1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,+∞)上单调递减,在(1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$)单调递增;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且1<$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5,
结合(1)知,当a<0时,x1=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,x2=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,则1<$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}{a+\sqrt{{a}^{2}+a}}$≤5,不等式无解;
当a>1时,x1=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,x2=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$,则1<$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}$≤5,解得0≤a≤$\frac{9}{5}$,故1<a≤$\frac{9}{5}$,
则满足条件的a的取值范围为{a|1<a≤$\frac{9}{5}$}.

点评 本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断,考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力,考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力,逻辑性综合性强,属难题.

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