Question

10．已知函数f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$（x∈R），g（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a-1（a∈R），若A={x|f（g（x））＞e}=R．则a的取值范围是[-1，0]．

Answer 1

分析 当x＞0时，利用导数求得f（x）≤$\frac{1}{e}$，不满足条件．当x=0时，f（x）=0，不满足条件．当x＜0时，由f′（x）＜0，得f（x）为减函数，由f（-1）=e，可得x＜-1，问题转化为 g（x）＜-1恒成立，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1．再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．

解答 解：当x＞0时，函数f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$，令 f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=0，求得x=1，当x＞0时，
利用倒数的符号可得，函数f（x）在x=1处，取得最大值为$\frac{1}{e}$，故f（x）≤$\frac{1}{e}$，不满足条件．
当x=0时，f（x）=0，不满足条件．
当x＜0时，f′（x）＜0，故f（x）为减函数，由f（-1）=e，可得x＜-1．
问题转化为 g（x）＜-1恒成立，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，即h（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a=-（2^x-a）²+2a²+a＜0 恒成立．
若a＞0，则h（x）的最大值为 2a²+a＞0，故2a²+a＜0无解．
若a≤0，则h（x）＜a²+a≤0，求得-1≤a≤0，
故答案为：[-1，0]．

点评 本题主要考查利用导数求函数的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．