Question

【题目】有如下3个命题；

①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；

②双曲线的离心率分别是，则是定值；

③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（　　）

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个

Answer 1

【答案】A

【解析】

求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；

运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；

可设A（s，），B（t，），求得直线AB的斜率和st=﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB的方程，化简可得定点，即可判断③．

①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），

两条渐近线方程为y=±x，可得两个距离的乘积为=，

由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得两个距离乘积是定值；

②双曲线=1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，

即有e12=，e22=，可得为定值1；

③过抛物线x2=2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，

可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，

kAB==，可得直线AB的方程为y﹣=（x﹣s），即为y=x+2p，

则直线AB过定点（0，2p）．

三个命题都正确．

故选：A．