题目内容
【题目】动点在抛物线
上,过点
作
垂直于
轴,垂足为
,设
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若点是
上的动点,过点
作抛物线
:
的两条切线,切点分别为
,设点
到直线
的距离为
,求
的最小值。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(I)设点,利用
将
表示为
的形式,然后代入抛物线方程,化简后可求得轨迹
的方程.(II)设点
,利用导数求得切线
的方程.对比后可求得直线
的方程,再利用点到直线的距离公式求得
的表达式,化简后利用基本不等式求得
的最小值.
(1)设点,
则由,得
因为点在抛物线
上,所以点
的轨迹
的方程为:
(2)设点,
由,得
;所以
故的方程为
又点在直线
上,所以
又,故
,将其代入
式
得即
同理得:
因为点均满足方程
所以的方程为
即
于是,
令,则
,
则
当且仅当即
时取等号所以
的最小值为
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