题目内容
【题目】已知函数,
若关于
的方程
有两个不等实数根
,
,且
,则
的最小值是( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:由题意首先确定函数f(x)的性质,然后结合函数的性质将二元问题转化为一元问题,最后利用导函数构造函数确定最值即可.
详解:因为f(x)=x3+sinx是奇函数且f′(x)=3x2+cosx≥0,所以f(x)=x3+sinx单调递增,
若关于x的方程f(g(x))+m=0恰有两个不等实根,
等价于f(t)+m=0有且只有一个根,t=g(x)有且只有两个根,
且,
所以,
设函数t(x)=x-2ln(x+l)+2,则,
所以当0<x<1时,t′(x)<0,t(x)单调递减,
当x>1时,t′(x)>0,t(x)单调递增,
所以,f(x)的极小值即最小值是t(1)=3-21n2,即的最小值为3-2ln2.
本题选择D选项.
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