Question

【题目】乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为 + = ，

回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为 + = ，

故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = + = ．

（2）解：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6

其中P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；

P（ξ=1）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；

P（ξ=2）= × = ；

P（ξ=3）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；

P（ξ=4）= × + × = ；

P（ξ=6）= × = ；

故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	6
P

故ξ的数学期望为E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× +6× = ．

【解析】（1）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．