题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
()求椭圆的方程.
()过定点
的动直线
,交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:()由题可知
,则
,椭圆经过点
,带入可得
,由此可知所求椭圆方程为
;(2)分别求出
与
轴平行时和
与
轴垂直时得圆得方程,联立可求得两圆得切点,进而推断所求的点
如果存在只能是
,当直线
与
轴垂直时,以
为直径的圆过点
,当直线
不垂直于
轴时设直线
的方程为
,与椭圆的方程联立求得
,证明出
,即以
为直径得圆恒过点
.
试题解析:()∵椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,
∴,
又∵椭圆经过点,代入可得
,
∴,故所求椭圆方程为
.
()当
与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
,
当与
轴垂直时,以
为直径的圆的方程:
,
由,
解得,
即两圆公共点,因此,所求的点
如果存在,只能是
.
(i)当直线斜率不存在时,以
为直径的圆过点
.
(ii)若直线斜率存在时,可设直线
.
由,消去
得:
,
记点、
,
则,
∵,
,
∴,
.
∴,
综合(i)(ii),以为直径的圆恒过点
.
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