题目内容
【题目】如图,在锐角中,垂心
关于边
、
、
的对称点分别为
、
、
,关于边
、
、
的中点
、
、
的对称点分别为
、
、
.证明:
(1)、
、
、
、
、
六点共圆;
(2);
(3).
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
证明:(1)如图,作的外接圆
.
下面证明:、
、
、
、
、
均在
上.
由为
的垂心
关于边
的对称点,则
.
故
.
因为是
的对顶角,且
,
所以四边形中,
.
这表明,点、
、
、
同在
上.
类似地,点、
也在
上.
再由点为
关于边
在中点
的对称点,则
.
又,得四边形
为平行四边形.
从而,.
易知,.
故.
因此,点在
上.
类似地,点、
也在
上.
(2)由,
,得
.
因此,为
的一条直径,即
为点
关于
的对称点.
类似地,为点
关于
的对称点,
为点
关于
的对称点.
故,
,
.
(3)由为
的中位线知
,
.
类似地,
,
;
,
.
则,
因此,相似比为
.
从而,.
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