Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）
（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；
（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．

∵a＞0，f（x）的对称轴为x=1，

可得f（x）在[2，3]上为增函数，

故f（2）=1，f（3）=4，

即1+b=1，3a+1+b=4，

解得a=1，b=0；

（2）解：由题意可得f（x）=x2﹣2x+2，

∴f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，

即为|2x﹣1|2﹣2|2x﹣1|+2+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，

即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+2（1+2k）=0，

令|2x﹣1|=t，则方程可化为t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0（t≥0），

关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（2﹣3|2x﹣1|）=0有3个不同的实数解，

结合t=|2x﹣1|的图象（如右图）可知，

方程t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0有两个根t1，t2，

且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，或0＜t1＜1，t2=0，

记h（t）=t2﹣（2+3k）t+2（1+2k），

则 或 或 ．

即有k∈或k=﹣ ．

解得k=﹣ ．

【解析】（1）根据f（x）的开口方向和对称轴可知f（x）在[2，3]上是增函数，根据最值列出方程组解出a，b；（2）令|2x﹣1|=t，得到关于t的二次函数h（t），结合t=|2x﹣1|的函数图象可判断h（t）的零点分布情况，列出不等式组解出k的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．