题目内容

在数列{an}中,a1=1,a1=1,an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n

(Ⅰ)设bn=
an
n
,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn
(Ⅲ)设cn=(2n-an)2n,求证:
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
1
4
考点:数列的求和,数列的应用,数列与不等式的综合
专题:等差数列与等比数列
分析:(I)由an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n
,变形为
an+1
n+1
=
an
n
+
1
2n
,即bn+1-bn=
1
2n
,利用累差迭加得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
(II)由(I)知an=n(2-
1
2n-1
)
=2n-
n
2n-1
,可得Sn=
n(2+2n)
2
-Tn,其中Tn=
1
1
+
2
2
+
3
22
+
…+
n-1
2n-2
+
n
2n-1
,利用“错位相减法”即可得出.
(III) 由(II)得cn=(2n-an)2n=2n.可得
1
cncn+1
=
1
4n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)
,利用“裂项求和”即可得出.
解答: 解:(I)由an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n

可得
an+1
n+1
=
an
n
+
1
2n

∴bn+1-bn=
1
2n

利用累差迭加得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=
1
2n-1
+
1
2n-2
+…+
1
2
+1
=
1-
1
2n
1-
1
2
=2-
1
2n-1

当n=1时,也成立.
∴数列{bn}的通项公式:bn=2-
1
2n-1

(II)由(I)知an=n(2-
1
2n-1
)
=2n-
n
2n-1

∴Sn=
n(2+2n)
2
-Tn
其中Tn=
1
1
+
2
2
+
3
22
+
…+
n-1
2n-2
+
n
2n-1

∴2Tn=2+2+
3
2
+…+
n
2n-2

∴Tn=2+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
-
n
2n-1
=
2(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n-1
=4-
n+2
2n-1

∴Sn=n(n+1)+
n+2
2n-1
-4.
(III)证明:由(II)得cn=(2n-an)2n=2n.
1
cncn+1
=
1
4n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)

1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
=
1
4
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)
+…+(
1
n
-
1
n+1
)]

=
1
4
(1-
1
n+1
)
1
4
点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了数列求和方法“累加求和”、“错位相减法”、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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