已知圆E:x2+2=$\frac{9}{4}$经过椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点F1.F2.且与椭圆C在第一象限的交点为A.且F1.E.A三点共线.直线l交椭圆C于M.N两点.且$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OA}$(1)求椭圆C的方程,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

已知圆E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁，F₂，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F₁，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OA}$（λ≠0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．

分析（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F₁A为圆E的直径求出|AF₁|=3，根据勾股定理求出|AF₂|，根据椭圆的定义和a²=b²+c²依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；
（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．

解答解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F₁，F₂，
∴c²+（0-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，解得c=$\sqrt{2}$，…（2分）
∵F₁，E，A三点共线，∴F₁A为圆E的直径，则|AF₁|=3，
∴AF₂⊥F₁F₂，∴$|A{F}_{2}{|}^{2}$=$|A{F}_{1}{|}^{2}$-$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=9-8=1，
∵2a=|AF₁|+|AF₂|=3+1=4，∴a=2
由a²=b²+c²得，b=$\sqrt{2}$，…（4分）
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（5分）
（2）由（1）得点A的坐标（$\sqrt{2}$，1），
∵$\overrightarrow{MN}=λ\overrightarrow{OA}$（λ≠0），∴直线l的斜率为k_OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（6分）
则设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得，${x}^{2}+\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2=0$，
∴x₁+x₂=$-\sqrt{2}m$，x₁x₂=m²-2，
且△=2m²-4m²+8＞0，解得-2＜m＜2，…（8分）
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{3}{2}}$$\sqrt{（-\sqrt{2}m）^{2}-4（{m}^{2}-2）}$=$\sqrt{{12-3m}^{2}}$，
∵点A到直线l的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}-1+m|}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$，
∴△AMN的面积S=$\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{12-3m}^{2}}×\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{{（4-m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，…（10分）
当且仅当4-m²=m²，即m=$±\sqrt{2}$，直线l的方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x±\sqrt{2}$．…（12分）

点评本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题．

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C．

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