题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，等差数列
满足
．
（1）分别求数列
的通项公式；
（2）若对任意的
，恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）由
----①得
----②，
①
②得
，
又a2=3,a1=1也满足上式，∴an=3n-1；----------------3分
； -----------------6分
（2）
，
对
恒成立，即
对恒成立，-----8分
令
，
，
当
时，
，当
时，
，--------------10分
，
．----------12分
【解析】
试题（1）根据条件等差数列
满足
，
，将其转化为等差数列基本量
的求解，从而可以得到的通项公式，根据
可将条件中的变形得到
，验证此递推公式当n=1时也成立，可得到
是等比数列，从而得到的通项公式；
（2）根据（1）中所求得的通项公式，题中的不等式
可转化为
，从而问题等价于求
，可求得当n=3时，为最大项，从而可以得到
．
（1）设等差数列公差为
，则
，
解得
，
， （2分）
当
时，，则
，
是以1为首项3为公比的等比数列，则
． （6分）；
（2）由（1）知，，原不等式可化为
（8分）
若对任意的恒成立，
，问题转化为求数列
的最大项
令
，则
，解得
，所以
， （10分）
即
的最大项为第
项，
，所以实数
的取值范围
． （12分）．
优等生题库系列答案
【题目】国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是
）.
男生平均每天运动时间分布情况：
女生平均每天运动时间分布情况：
（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；
（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
