题目内容
(本小题满分12分)如图所示,在直三棱柱中,已知,,,,分别为、的中点.
(I)证明:平面;(II)求二面角的大小.
(I)证明:平面;(II)求二面角的大小.
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(Ⅰ)证明:以所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,……2分
设平面的一个法向量为,
则由和,,
取,,,所以法向量,
又,,
因为平面,所以平面.……6分
(另证:不建坐标系,取的中点,连结,证明)
(Ⅱ)解:由⑴可知,平面的法向量为.又平面的法向量为,所以,……10分
由图可知,所求的二面角为锐角,所以二面角的大小为.……12分
(另解:得用射影面积法求,是在面内的射影,利用关系式即可确定角).
设平面的一个法向量为,
则由和,,
取,,,所以法向量,
又,,
因为平面,所以平面.……6分
(另证:不建坐标系,取的中点,连结,证明)
(Ⅱ)解:由⑴可知,平面的法向量为.又平面的法向量为,所以,……10分
由图可知,所求的二面角为锐角,所以二面角的大小为.……12分
(另解:得用射影面积法求,是在面内的射影,利用关系式即可确定角).
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