Question

13．下列四个命题：①?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=2；②对?x∈R，sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；③对?x∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx+$\frac{1}{tanx}$≥2；④?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$．其中正确命题的序号为③④．

Answer 1

分析 利用辅助角公式把sinx+cosx化积判断①④；举例说明②错误；由x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，tanx＞0，结合基本不等式求最值说明③正确．

解答 解：：①∵$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=2错误；
②∵sinx∈[-1，1]，当sinx＜0时，sinx+$\frac{1}{sinx}$＜0，∴②错误；
③当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，tanx＞0，∴tanx+$\frac{1}{tanx}$≥2，③正确；
④∵$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$，正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了基本不等式求最值的条件，训练了三角函数值域的求法，是中档题．