Question

【题目】已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）讨论f（x）在（0，2π）上的单调性；
（2）若关于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有两个根，求实数m的取值范围．
（3）求证：当x∈（0， ）时，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，

f'（x）＞0x∈（0，π），f'（x）＜0

x∈（π，2π）f（x）的递增区间（0，π），递减区间（π，2π）；

（2）解：f（x）=x2﹣2πx+m，

设h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2，

由 ，解得，0＜m＜π2+π；

（3）证明：令g（x）=f（x）﹣ x3，

则g′（x）=x（sinx﹣x），

当x∈（0， ）时，设t（x）=sinx﹣x，则t′（x）=cosx﹣1＜0，

所以t（x）在x∈（0， ）单调递减，t（x）=sinx﹣x＜t（0）=0，

即sinx＜x，所以g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，

所以f（x）＜ x3

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2 ， 根据二次函数的性质求出m的范围即可；（3）令g（x）=f（x）﹣ x3 ， 求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）＜0，从而证出结论即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．