Question

15．已知a、b∈R⁺，2a+b=2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a、b∈R⁺，2a+b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）
=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）
≥$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=4
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$时取等号，
联立$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$和2a+b=2可解得a=$\frac{1}{2}$且b=1，
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．