题目内容
【题目】已知椭圆,过点
作互相垂直的两条直线分别交椭圆
于点
(
与
不重合).
(1)证明:直线过定点
;
(2)若以点为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求四边形
的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
【解析】
(1)先设出直线的方程
,利用垂直关系求出
的值即可;
(2)由(1)有直线的方程为
,
,
,求得
中点
,根据
,求得
,再由四边形
的面积为
,运用韦达定理和弦长公式,计算可得所求值.
(1)根据题意有:直线、
、
斜率均存在.
设,
、
联立:,有:
,
所以:,
.
因为,
所以:,
化简得:,
所以:,
化简得:,解得
或
.
当时,
过点
,则
与
或
重合,不满足题意,舍去,
所以:,即
所以:直线过定点
.
(2)由(1)有:,
则:,
,
.
如图所示:
设线段的中点为
,
则:,
.
因为以为圆心的圆与直线
相切于
的中点,
所以:,
又因为:,且
与
平行,
所以:,
解得或
.
由上图有:四边形的面积
.
①当时:
,易得:
、
,
所以:.
②当时:
有:,
所以:.
由①②有:或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】新能源汽车已经走进我们的生活,逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售,预售场面异常火爆,故该经销商采用竞价策略基本规则是:①竞价者都是网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与竞价的总人数;②竞价采用“一月一期制”,当月竞价时间截止后,系统根据当期汽车配额,按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价,他为了预测最低成交价,根据网站的公告,统计了最近5个月参与竞价的人数(如下表)
月份 | 2020.01 | 2020.02 | 2020.03 | 2020.04 | 2020.05 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
竞拍人数 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞价人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程:,并预测2020年6月份(月份编号为6)参与竞价的人数;
(2)某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查,得到如表所示的频数表:
报价区间(万元) | ||||||
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(i)求这200位竞价人员报价的平均值和样本方差s2(同一区间的报价用该价格区间的中点值代替)
(ii)假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布且μ与σ2可分别由(i)中所示的样本平均数
及s2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174,根据市场调研,最低成交价高于样本平均数
,请你预测(需说明理由)最低成交价.
参考公式及数据:
①回归方程,其中
②
③若随机变量X服从正态分布则
.